Symplectic split-operator propagators from tridiagonalized multi-mode bosonic Hilbert spaces for Bose–Hubbard Hamiltonians
DOI (Low Temperature Physics):
https://doi.org/10.1063/10.0046093Ключові слова:
quantum many-body systems, Bose–Hubbard Hamiltonian, optomechanical oscillator HamiltonianАнотація
У цій статті, присвяченій методам, показано, як тридіаго¬налізувати два сімейства бозонних багатомодових систем: оптомеханічні та гамільтоніани Бозе–Хаббарда. Використовуючи інструменти теорії чисел, розроблено представлення цих систем у вигляді точних тридіагональних симетричних матриць із дійсними елементами. Такі матриці згодом можна точно діагоналізувати за допомогою спеціалізованих алгоритмів для розріджених матриць, які потребують порядку кроків. Це дає змогу описувати системи з набагато більшою кількістю базисних станів, ніж було доступно раніше. Це також дозволяє ефективно діагоналізувати великі, точні, симплектичні пропагатори з розділеними операторами, для яких, крім того, показано, що необхідні базисні зміни можна реалізувати шляхом простої переіндексації з мінімальними обчислювальними витратами.
Посилання
E. Coakley and V. Rokhlin, “A fast divide-and-conquer algorithm for computing the spectra of real symmetric tridiagonal matrices,” Appl. Comp. Harm. Anal. 34, 379 (2012). https://doi.org/10.1016/j.acha.2012.06.003
P. Weinberg and M. Bukov, “QuSpin: A Python package for dynamics and exact diagonalisation of quantum many body systems. part I: Spin chains,” SciPost Phys. 2, 003 (2017). https://doi.org/10.21468/SciPostPhys.2.1.003
P. Weinberg and M. Bukov, “QuSpin: A Python package for dynamics and exact diagonalisation of quantum many body systems. part II: Bosons, fermions and higher spins,” SciPost Phys. 7, 020 (2019). https://doi.org/10.21468/SciPostPhys.7.2.020
R. Ovsiannikov, K. Jacobs, A. G. Sotnikov, and D. I. Bondar, “Symplectic split-operator method for the time-dependent unitary Tavis-Cummings model,” Low Temp. Phys. 52(9), 1121 (2026) [Fiz. Nizk. Temp. 52, 1239 (2026)]. https://doi.org/10.1063/10.0046101
H. Yoshida, Recent progress in the theory and application of symplectic integrators, in Qualitative and Quantitative Behaviour of Planetary Systems: Proceedings of the Third Alexander von Humboldt Colloquium on Celestial Mechanics (Springer, 1993), p. 27.
S. A. Chin, “Explicit symplectic integrators for solving nonseparable hamiltonians,” Phys. Rev. E 80, 037701 (2009). https://doi.org/10.1103/PhysRevE.80.037701
M. Ćirić, D. I. Bondar, and O. Steuernagel, “Exponential unitary integrators for nonseparable quantum hamiltonians,” Eur. Phys. J. Plus 138, 238 (2023). https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-023-03819-3
R. Cabrera, D. I. Bondar, K. Jacobs, and H. A. Rabitz, “Efficient method to generate time evolution of the Wigner function for open quantum systems,” Phys. Rev. A 92, 042122 (2015). https://doi.org/10.1103/PhysRevA.92.042122
J. Javanainen and J. Ruostekoski, “Symbolic calculation in development of algorithms: Split-step methods for the gross–pitaevskii equation,” J. Phys. A: Math. Gen. 39, L179 (2006). https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/12/L02
A. Weiße and H. Fehske, “Exact diagonalization techniques,” in Computational Many-Particle Physics, Lecture Notes in Physics Vol. 739, edited by H. Fehske, R. Schneider, and A. Weiße (Springer, Berlin, Heidelberg, 2008), p. 529.
We are not aware of a standard library implementing method (Ref. 1) and did not implement it ourselves. All numerical results reported here are based on readily available libraries (scipy.linalg.eigvalsh_tridiagonal), these allow for a linear speedup of the diagonlization of three-triagonal matrices of size D×D using steps, instead of steps for general matrices.
LAPACK – Linear Algebra PACKage.
S. Mancini, V. I. Man’ko, and P. Tombesi, “Ponderomotive control of quantum macroscopic coherence,” Phys. Rev. A 55, 3042 (1997). https://doi.org/10.1103/PhysRevA.55.3042
M. S. Kim, W. Son, V. Bužek, and P. L. Knight, “Entanglement by a beam splitter: Nonclassicality as a prerequisite for entanglement,” Phys. Rev. A 65, 032323 (2002). https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.032323
S. Qvarfort, A. Serafini, A. Xuereb, D. Rätzel, and D. E. Bruschi, “Enhanced continuous generation of nongaussianity through optomechanical modulation,” New J. Phys. 21, 055004 (2019). https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab1b9e
N. Hatano and M. Suzuki, “Finding exponential product formulas of higher orders,” in Quantum Annealing and Other Optimization Methods, Lecture Notes in Physics Vol. 679, edited by A. Das and B. K. Chakrabarti (Springer, Berlin, Heidelberg, 2005).
To find this largest value, the use of a bisection method can provide a very considerable speedup.
B. Rosser, “Reviewed work: Über die zurückführbarkeit einiger durch rekursionen definierter relationen auf ‘arithmetische’,” J. Symb. Log. 2, 85 (1937). https://doi.org/10.2307/2267375
L. B. Morales and J. S. Lew, “An enlarged family of packing polynomials on multidimensional lattices,” Math. Systems Theory 29, 293 (1996). https://doi.org/10.1007/BF01201281
L. B. Morales and J. H. Arredondo, “A family of asymptotically e (n-1)! polynomial orders of Nn,” Order 16, 195 (1999). https://doi.org/10.1023/A:1006329224202
D. Raventós, T. Graß, M. Lewenstein, and B. Juliá-Díaz, “Cold bosons in optical lattices: A tutorial for exact diagonalization,” J. Phys. B 50, 113001 (2017). https://doi.org/10.1088/1361-6455/aa68b1
J. Zhang and R. Dong, “Exact diagonalization: The Bose– Hubbard model as an example,” Eur. J. Phys. 31, 591 (2010). https://doi.org/10.1088/0143-0807/31/3/016
Coding the Bose–Hubbard Hamiltonian with QuSpin, GitHub Link (2019). https://github.com/weinbe58/QuSpin/blob/master/examples/notebooks/BHM.ipynb
Benchmark implementation in the demonstration notebook demo skolem vs quspin.ipynb, GitHub repository (2026). https://github.com/dibondar/SkolemPropagatorBoseHubbard/blob/master/demo_skolem_vs_quspin.ipynb
Symplectic split-operator propagators from tridiagonalized multi-mode bosonic Hilbert spaces for Bose–Hubbard, GitHub Link (2024). https://github.com/dibondar/SkolemPropagatorBoseHubbard/
