Dynamics of small fluctuations in Boltzmann kinetics

Анотація

Для більшої зрозумілості ми називаємо кінетикою Больцмана теорію нерівноважних станів системи ідентичних слабко взаємодіючих частинок (гамільтоніан взаємодії H₁ ⁓ λ, λ << 1). Мінімальний набір параметрів η₁, що описують стан такої системи, вважається множиною чисел заповненості n_p одночастинкових станів (η₁ ≡{n_p}, p – номер стану). Наявність додаткових параметрів (їх набір позначається η2 ), що описують стан системи, вказує, за Онсагером, на наявність флуктуацій у системі. Детально розглянуто флуктуації квадратів чисел заповненості mp m_p (η₂  ≡{m_p}). У статті було використано метод Боголюбова редукованого опису нерівноважних станів у формулюванні Пелетмінського–Яценка. Статистичні оператори ρ⁰ (η₁) та ρ (η₁, η₂) описують відповідно стани системи без флуктуацій і з флуктуаціями та виражаються теорією збурень в λ через квазірівноважні статистичні оператори ρ_q⁰ (η₁) та ρ_q (η₁,η₂). Можна стверджувати, що опис системи статистичним оператором ρ (η₁,η₂), тобто станів з флуктуа ціями, здійснюється на довших часових масштабах, ніж опис станів без флуктуацій. Середні значення спостережуваних величин можна обчислити у стані без флуктуацій ρ⁰ (η₁) за допомогою теорії збурень щодо параметра взаємодії λ, вико ристовуючи правила Віка для ρ_q⁰ (η₁). Для статистичного оператора ρ (η₁,η₂) така операція неможлива, оскільки для квазірівноважного стану статистичного оператора ρ_q (η₁,η₂) правила типу Віка не існують (цей оператор є експоненціа льною функцією операторної форми 4-го ступеня вторинних операторів квантування). Щоб подолати цю проблему, було розроблено розклад для ρ_q (η₁,η₂) за малими степенями від хилення δη₂=η_{2 –} η₂⁰ (δη₂ ⁓ μ, μ << 1), де η₂⁰ — середнє значення η₂ у стані ρ_q⁰ (η₁). Величина δη₂ характеризує величину флуктуації в кінетиці Больцмана. Введення нового малого параметра подібне до методу розрахунку кореляційної функції, запропонованого в нашій попередній роботі для спінових систем (Low Temp. Phys. 51, 323 (2025) [Fiz. Nyzk. Temp. 51, 357 (2025)]).